Системы счисления, применяемые в ЭВМ.

а) Позиционные системы счисления - значения цифры зависит от ее места в числе. 

Пример : арабская  14537 ( 7 единиц, 3 десятка, 5 сотен, 4 тысячи, 1 десяток  тысяч ).

б) Непозиционная система счисления - значение цифры не зависит от места в числе.

Пример: римская     XXIV   ( 10 + 10 + 4 = 24 ).

в) Однородные системы счисления - системы использующие цифры одного множества.

Пример:  десятичные       ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ).

г) Неоднородные ( смешанные ) системы счисления .

Пример: система подсчета времени ( 60 секунд = 1 минута, 60 минут = 1 час, 24 часа =  1 сутки ).

Любое число можно представить в следующем виде :

х - значение числа;

S - сумма;

i - номер позиции цифры в числе (  номер разряда );

m - число цифр в дробной части числа;

n - число цифр в целой части числа;

a_i - значение цифры в   разряде (коэффициент системы);

q - основание системы.

Пример: десятичная система счисления

Используя вышеуказанную формулу, запишем число 73,375.  Для нашего случая система счисления десятичная, основание 10 (q=10), в целой части числа две цифры (n=2), в дробной части числа три цифры (m=3). Коэффициентами системы могут быть цифры меньшие десяти - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

75,375 =  7 *10¹+5 *10⁰+3 *10^-1+7 *10^-2+5* 10^-3

Пример: двоичная система счисления

Система счисления двоичная (q=2). Коэффициентами системы могут быть цифры меньшие чем два - 0, 1. Распишем общий вид чисел и попробуем путем подбора коэффициентов представить в двоичном виде числа от 0 до 16.

a₄*2⁴+a₃*2³+a₂*2²+a₁*2¹+a₀ *2⁰ = = a₄*16+a₃*8+a₂*4+a₁*2+a₀ *1

0=0 *16+0*8+0*4+0*2+0*1 (а₄=0, а₃=0, а₂=0, а₁=0, а₀=0)

1=0 *16+0*8+0*4+0*2+1*1 (а₄=0, а₃=0, а₂=0, а₁=0, а₀=1)

2=0 *16+0*8+0*4+1*2+0*1 (а₄=0, а₃=0, а₂=0, а₁=1, а₀=0)

3=0 *16+0*8+0*4+1*2+1*1 (а₄=0, а₃=0, а₂=0, а₁=1, а₀=1)

4=0 *16+0*8+1*4+0*2+0*1 (а₄=0, а₃=0, а₂=1, а₁=0, а₀=0)

5=0 *16+0*8+1*4+0*2+1*1 (а₄=0, а₃=0, а₂=1, а₁=0, а₀=1)

6=0 *16+0*8+1*4+1*2+0*1 (а₄=0, а₃=0, а₂=1, а₁=1, а₀=0)

7=0 *16+0*8+1*4+1*2+1*1 (а₄=0, а₃=0, а₂=1, а₁=1, а₀=1)

8=0 *16+1*8+0*4+0*2+0*1 (а₄=0, а₃=1, а₂=0, а₁=0, а₀=0)

9=0 *16+1*8+0*4+0*2+1*1 (а₄=0, а₃=1, а₂=0, а₁=0, а₀=1)

10=0 *16+1*8+0*4+1*2+0*1 (а₄=0, а₃=1, а₂=0, а₁=1, а₀=0)

11=0 *16+1*8+0*4+1*2+1*1 (а₄=0, а₃=1, а₂=0, а₁=1, а₀=1)

12=0 *16+1*8+1*4+0*2+0*1 (а₄=0, а₃=1, а₂=1, а₁=0, а₀=0)

13=0 *16+1*8+1*4+0*2+1*1 (а₄=0, а₃=1, а₂=1, а₁=0, а₀=1)

14=0 *16+1*8+1*4+1*2+0*1 (а₄=0, а₃=1, а₂=1, а₁=1, а₀=0)

15=0 *16+1*8+1*4+1*2+1*1 (а₄=0, а₃=1, а₂=1, а₁=1, а₀=1)

16=1 *16+0*8+0*4+0*2+0*1(а₄=1, а₃=0, а₂=0, а₁=0, а₀=0)

Пример: восьмеричная  система счисления

Система счисления восьмеричная (q=8). Коэффициентами системы могут быть цифры меньшие, чем восемь - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.  Распишем общий вид чисел и попробуем путем подбора коэффициентов представить в двоичном виде числа от 0 до 16.

a₁*8¹ + a₀ *8⁰ = a₁*8 + a₀*1

0=0*8+0*1 (а₁=0, а₀=0)              9=1*8+1*1 (а₁=1, а₀=1)

1=0*8+1*1 (а₁=0, а₀=1)            10=1*8+2*1 (а₁=1, а₀=2)

2=0*8+2*1 (а₁=0, а₀=2)            11=1*8+3*1 (а₁=1, а₀=3)

3=0*8+3*1 (а₁=0, а₀=3)            12=1*8+4*1 (а₁=1, а₀=4)

4=0*8+4*1 (а₁=0, а₀=4)            13=1*8+5*1 (а₁=1, а₀=5)

5=0*8+5*1 (а₁=0, а₀=5)            14=1*8+6*1 (а₁=1, а₀=6)

6=0*8+6*1 (а₁=0, а₀=6)            15=1*8+7*1 (а₁=1, а ₀=7)

7=0*8+7*1 (а₁=0, а₀=7)            16=2*8+0*1 (а₁=2, а ₀=0)

8=1*8+0*1 (а₁=1, а₀=0)

Пример: шестнадцатеричная система счисления

Система счисления шестнадцатеричная (q=16). Коэффициентами системы могут быть цифры меньшие, чем шестнадцать. Однако в нет цифр обозначающих числа большие десяти (десять обозначается цифрами 1 и 0). Для записи таких чисел вместо цифр будем использовать буквы латинского алфавита 10-А, 11-В и т.д.

Числа от 0 до 16 в различных системах счисления запишем в таблицу,  которая будет использована в дальнейшем:

Способ подбора можно использовать при переводе небольших целых чисел с малой системой основания, применение его к переводу любого числа затруднительно.

В МЕНЮ